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安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学(文)试题

发布时间:

文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试 时间 120 分钟.
第 I 卷(选择题 共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

? ? 1.已知集合

A

?

??1, ?

2

1 2

? ? ?

,集合

B

?

y ? y ? x2, x ? A ,则 A

B ?(

)

(

A

)

? ? ?

1 2

? ? ?

( C )?1?

( B )?2?
( D )?

2. 已知 i 是虚数单位,若 ?2 ? i? ? z ? i3 ,则 z ? ( )

(A)1? 2i 55
(C)?2 ? 1i 55

(B)?2 ?1i 55
(D)1? 2i 55

3. 下列函数中,在区间 ?0, ??? 上为增函数的是( )

( A ) y ? ln ? x ?1?

(B ) y ? x ?1

(

C

)

y

?

? ??

1 3

? ??

x

4.抛物线 y ? ? 1 x2 的焦点坐标是( ) 4

( A ) ??1,0?

( D ) y ? sin x ? 2x
( B ) ??2,0?

( C ) ?0, ?1?

( D ) ?0, ?2?

5.将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向右*移 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 10
到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )

(

A

)

y

?

sin

? ??

2

x

?

? 5

? ??

(B)

y

?

sin

? ??

2

x

?

? 10

? ??

(

C

)

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

? 10

? ??

(

D

)

y

?

sin

? ??

1 2

x

?

? 20

? ??

6.已知 A , B , C 为 ?ABC 的三个内角,命题 p : A ? B ;命题 q : sin A ? sin B .则 ? p 是 ?q 的

()
( A )充分不必要条件 ( C )充分必要条件

( B )必要不充分条件 ( D )既不充分也不必要条件

7.若直线 x ? y ? a ? 1被圆 ? x ? 2?2 ? ? y ? 2?2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则 a ? ( )

( A )1或5 ( C )1 或 ?5

( B ) ?1 或 5 ( D ) ?1 或 ?5

8.已知向量 OA ? ?3, ?4? , OB ? ?6, ?3? , OC ? ?2m, m ? 1? ,若 AB ∥ OC ,则实数 m 的值为

()
( A)1 5
(C )? 1 7

(B)?3 5
( D ) ?3

? ? 9. 对 任 意 实 数 a

、b

,定义运算“⊙”: a

⊙b

?

?b, a ??a, a

? ?

b b

? ?

1 1





f

?x? ?

x2 ?1



?4 ? x? ? k ,若函数 f ? x? 的图像与 x 轴恰有三个公共点,则 k 的取值范围是( )

( A ) ??2,1?

( B )?0,1?

( C )??2,0?

( D )??2,1?

10. P 为椭圆 x2 ? y2 ? 1上任意一点,EF 为圆 N : ? x ? 1?2 ? y2 ? 4 的任意一条直径,则
16 15

PE ? PF 的取值范围是( )
( A )?0,15?

( B )?5,15?

( C )?5, 21?

( D ) ?5, 21?

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 , l2 : x ? ?a ? 1? y ? a2 ? 1 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a ? __。

12.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且点 ?a, b? 在直线 x ? y ? 2 上,则 2a ? 2b 的最小值为__.

?y ? x

13.设

m

?

1

,在约束条件

? ?

y

?

mx

下,目标函数 z ? x ? my 的最大值等于 2 ,则 m ? __.

??x ? y ? 1

14.已知 sin? ? cos? ? 1 ,? ? ?0,? ? ,则 tan? ? __.
2

15.若函数 f ? x? ? x2 ? a x ? 1 在?0, ??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是__.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 16(本小题满分 12 分)

设向量 a

?

? ??

sin

2 x, sin

3? 4

? ??

,b

?

? ??

cos

3? 4

,

?

cos

2

x

? ??



f

?x?

?

a

?b



(1)求 f ? x? 的最小正周期;

(2)求 f ? x? 在区间?0,? ? 上的单调递减区间.

18(本小题满分 12 分)
设为 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 2a cosC ? 2b ? c . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.
19(本小题满分 13 分)
已知函数 f ? x? ? ln x ? ax ,其中 a ? 0 .

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x? 在?1, e? 上的最大值; (2)若1 ? x ? e 时,函数 f ? x? 的最大值为 ?4 ,求函数 f ? x? 的表达式;

20(本小题满分 13 分)
? ? 已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 n ? N ? .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)求数列

? ? ?

2n ? an

1

? ? ?

的前

n

项和

Tn

.

21(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? b ? ?? 经过点 ?0,1? ,离心率为

3
.
2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l : x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 A 、B ,点 A 关于 x 轴的对称点 A? ( A? 与 B 不重合),

则直线 A?B 与 x 轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说
明理由.

文科数学参考答案
1. C 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. C

2
11.

12. 4

13. 1 ? 2

14. 4 ? 7

15. ?0, 2?

3

3

9.

令 g ?x?

?

?x ? 4, x ? 3或x ? ???2 ? x ? ?

?2 ,作出 y

?

g ? x? 的图象,当直线 y

?

?k

与曲线

y ? g ? x? 有三个交点时, k 的取值范围是??2,1? .

? ?? ? ? ?? ? 2

2

10. PE ? PF ? PN ? NE ? PN ? NF ? PN ? NE ? PN ? NE ? PN ?NE

?

2
PN ? 4 .因为 a ? c ?

PN

? a ? c ,即 3 ?

PN

? 5 ,所以 PE ? PF 的范围是?5, 21? .

14.

对 sin?

? cos?

?

1 *方得 2sin? 2

cos?

?

3 .由? 4

? ?0,? ? 知?

?

? ??

0,

? 2

? ??

.因为

?sin? ? cos? ?2 ? 1 ? 2sin? cos? ? 1 ? 3 ? 7 ,所以 sin? ? cos? ? 7 .由 sin? ? cos?

44

2

? 1 和 sin? ? cos? ? 7 解得 sin? = 7 ? 1 , cos? ? 7 ? 1 ,所以 tan? ? 4 ? 7

2

2

4

4

3

15.

f

?x?

?

?? x2

? ??

x

2

? ?

ax ax

? ?

a, a,

x x

??1, ??? ? ???,1?

,

x ??1, ??? 时,

f

?x?

?

x2

? ax

?

a

=

? ??

x

?

a ?2 2 ??

?a ? a2 , x ? ???,1? 时,
4

f

?x? ?

x2

?

ax

?

a

=

? ??

x

?

a

2
?

2 ??

?a?

a2 4

.①当 a 2

?1即a

? ? 时,

f

?x?在

?????

a 2

? ??

上单调递减,在

? ??

a 2

,

??

? ??

上单调递增,不合题意;②当 0

?

a 2

?

1即0

?

a

?

2

时,符合题意;③当 a ? 0 即 a ? 0 时,不符合题意.综上, a 的取值范围是?0, 2? .
2

(2)由 ? ? 2k? ? 2x ? 3? ? 3? ? 2k? ,得 5? ? k? ? x ? 9? ? k? ,k∈Z. 又 0 ? x ? ? ,

2

42

8

8

因此

f

? x? 在区间?0,?

?

上的单调递减区间为

???0,

? 8

? ??

,

? 5? ?? 8

,?

? ??

.(12

分)

17.(1)因为 a1 、 a2 、 a4 成等比数列,所以 ?a1 ? d ?2 ? a1 ?a1 ? 3d ? ,整理得 d ? a1 ? 2 ,所以

an ? a1 ? ?n ? 1? d ? 2n .(5 分)

(2)因为 an

?

b1 2 ?1

?

b2 22 ?1

?

b3 23 ?1

?

?

bn 2n ?1

…①,所以 an?1

?

b1 21 ? 1

?

b2 22 ?

1

?



? ? ?

bn?1 2n?1 ?

1

…②.

① ? ②得 an

? an?1 ?

bn 2n ?1

?n

?

2? ,即 bn

?

2

2n ?1

? 2n?1 ? 2 ?n ? 2? ,

? ? 当 n ? 1时, b1 ? 6 适合上式.所以 bn ? 2 2n ? 1 ? 2n?1 ? 2 .(7 分)

18.(1)解法 1 由 2a cosC ? 2b ? c 得 2sin AcosC ? 2sin B ? sin C .又 sin B ? sin ? A ? C ?

? sin AcosC ? cos Asin C ,所以 2 cos Asin C ? sin C .因为 sin C ? 0 ,所以 cos A ? 1 ,又 2
因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ? .(6 分) 3

解法 2 由 2a cos C ? 2b ? c 得 2a ? a2 ? b2 ? c2 ? 2b ? c ,即 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,又 2ab

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,所以 cos A ? 1 ,又因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ? .(6 分)

2

3

(2)解法 1 由正弦定理得 b ? a sin B ? 2 sin B , c ? 2 sin C . b ? c ? 2 ?sin B ? sin C ?

sin A 3

3

3

?

2 3

? ??

sin

B

?

sin

? ??

2? 3

?

C

? ??

? ??

?

2

sin

? ??

B

?

? 6

? ??

.因为

A

?

? 3

,所以

B

?

? ??

0,

2? 3

? ??

,

B

?

? 6

?

?? ?? 6

, 5? 6

? ??

,所以

sin

? ??

B

?

? 6

? ??

?

? ??

1 2

,1???

.故 b

?

c

的取值范围是 ?1, 2?

.(12

分)

解法 2

由(1)及余弦定理得 b2

? c2

? bc ? 1,所以 ?b ? c?2

?

1

?

3bc

?

1

?

3

? ??

b

? 2

c

2
? ? ?

,

b ? c ? 2 ,又 b ? c ? a ? 1.故 b ? c 的取值范围是 ?1, 2? .(12 分)

19. f ?? x? ? 1 ? a ? 1 ? ax .(1) 当 a ? 1 ,时, f ?? x? ? 1 ? x , x ? ?1, e? 时, f ?? x? ? 0 ,

x

x

x

所以 f ? x? 在?1, e? 上单调递减,最大值为 f ?1? ? ?1.(5 分)

(2)因为

f

??x?

?

1 x

?

a

,所以

f

?

x

?



? ??

0

1 a

? ??

上单调递增,在

? ??

1 a

,

??

? ??

上单调递减.

①当 0 ? 1 ? ? ,即 a ? 1时, f ? x? ? f ?1? ? ?4 ,解得 a ? 4 符合题意;

a

max

②当1 ? 1 ? e ,即 1 ? a ? 1 时,

a

e

f

?x? max

?

f

?1? ?? a ??

?

?4 ,解得 a

? e3

? 1(舍去);

③当 1 ? e ,即 0 ? a ? 1 时, f ? x? ? f ?e? ? ?4 ,解得 a ? 5 ? 1 (舍去).

a

e

max

ee

综上, f ? x? ? ln x ? 4x .(13 分)

? ? ? ? 20.(1)因为 an?1 ? 2Sn ? 1 n ? N ? ,所以 an ? 2Sn?1 ? 1 n ? 2 ,两式相减得 an?1 ? 3an

?n ? ?2 .由 an?1 ? 2Sn ? 1得 a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 ,所以 a2 ? 3a1 .因此数列?an? 是首项为1 ,公比

为 3 的等比数列, an ? 3n?1 ;(6 分)

(2) 因 为

Tn

?

3 30

?

5 3

?

?

2n ?1 3n?2

?

2n ? 1 3n?1

,所以

1 3

Tn

?

3 3

?

5 32

?

?

2n ?1 3n?1

?

2n ? 3n

1

,两式

相减得

2 3

Tn

?

3?

2

? ??

1 3

?

1 32

?

?

1 3n?1

? ??

?

2n ?1 3n

?

4?

2n ? 3n

4

,所以 Tn

?

6?

n?2 3n?1

.

(13 分)

?b ? 1

21.(1)由题意得

? ? ? ?

c a

?

3 2

,解得 a ? 2 ,所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .(5 分) 4

??a2 ? b2 ? c2

? ? 由

? ? ?

x2 4

?

y2

?

1 消去

x

得 ?my

? 1?2

?

4y2

?

4 ,即

m2 ? 4

y2 ? 2my ? 3 ? 0 .设 A? x1, y1 ? ,

??x ? my ? 1

B ? x2,

y2

?

,则

A?? x1, ?

y1 ?

,且

y1

?

y2

?

?

2m m2 ?

4

,

y1

?

y2

?

?

3 m2 ?

4

.经过

A??

x1, ?

y1 ?

,

B ? x2, y2 ? 的直线方程为

y?

y1

?

y1 ? y2 x2 ? x1

?x ?

x1 ? ,令

y

? 0 ,则 x

?

y1x2 ? y1 ?

y2 x1 y2

.又因为

x1 ? my1 ? 1, x2

? my2 ? 1 ,所以 x ?

y1 ?my2 ? 1? ? y2 ?my1 ? 1?
y1 ? y2

? 2my1 y2 ? y1 ? y2 y1 ? y2

?

?

6m m2 ?

4

?

2m m2 ?

4

?

2m m2 ?

4

?

4 .即直线

A?B 与 x 轴交于一定点 ?4,0? .(13

分)




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